О роли философии в математическом творчестве

2009-04-15 Иван Лемешко

В современном обществе любой человек, если, конечно, он не является умственно неполноценным, придерживается той или иной философии, сознательно или бессознательно. Она, можно сказать, пронизывает все поры общества. В связи с этим возникает интересный вопрос: как философия влияет на процесс творчества? Особенно интересно проследить это влияние на примере математики, которая ближе к философии, чем другие науки.

Математика и философия - близнецы-сестры. Первые философы, как Фалес, были вместе с тем и первыми математиками. И еще много веков после них люди успешно совмещали занятия философией и математикой. Рационализм Декарта подтолкнул его к систематическому (гениальные проблески были уже у греков, о чем свидетельствуют их астрономия и география) соединению геометрии и арифметики - достижение, без которого современная наука немыслима. Идея монады у Лейбница, несомненно, связана с его занятиями дифференциальным исчислением.

Но, начиная с XVIII века, математик и философ уже не соединяются в одном лице. Более того, начинает расти взаимное отчуждение между представителями этих профессий, уже в первой половине следующего, XIX века, выразившееся, например, в ругательствах Гаусса в адрес гегелевской философии. Постепенно пренебрежение математиков к философии сменяется их уверенностью в своей компетентности в этой области, и начало XX века отмечено трудами Пуанкаре, получившими ленинскую оценку в книге «Материализм и эмпириокритицизм».

Беззаботный XVIII век, когда математики позволяли себе отступать от античного уровня доказательности (за что и подвергались разгромной критике со стороны идеалистов, например, Беркли, которые справедливо видели в новой математике фундамент естествознания, враждебного идеализму), сменился веком XIX. «Век девятнадцатый, железный» ознаменовался непрекращающимися усилиями математиков отвести все обвинения в нестрогости мышления. Цель этих усилий видели в приведении математики в соответствие с теми критериями строгости, которые мыслились абсолютными; на этом обоснование математики должно было завершиться. Здесь можно с сожалением констатировать влияние господствующей на то время философии, которую Энгельс называл «эклектической нищенской похлебкой», имея в виду ее идейную нищету по сравнению с философской классикой и которая не допускала мысли о том, что никаких абсолютных критериев нет и быть не может.

К концу века казалось, что «абсолютная строгость» (Пуанкаре) в математике достигнута. Положение выглядело даже лучше, чем в физике, на горизонте которой всегда маячили облака необъясненного. Но внезапно, как гром с ясного неба, грянула целая серия парадоксов и антиномий, заставившая математиков задуматься о природе математических понятий, о логике, о пределах математики и, таким образом, вновь зажгла интерес к философии.

Но на дворе уже стояла эпоха далеко не Просвещения (хотя, по сравнению с нашим временем, назвать ее эпохой обскурантизма не получается). Идеал научного познания, не знающего страха и запретов, померк в общественном сознании. Уже в 1946 году Вейль писал: «Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как и все в мире сегодня, мы переживаем «кризис». Он продолжается уже почти пятьдесят лет [полвека непрекращающихся безрезультатных попыток выйти из кризиса! И это при участии математиков такого калибра, как Пуанкаре и Гильберт. - И. Л.]. На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность: он направлял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно «безопасной», и постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой исследовательской работы».

Ввиду малого количества материалистов-диалектиков они не могли прикрыть все участки философского фронта; разнообразных же «философских антропологов» проблемы «точных» наук почти не интересовали. Так и получилось, что полномочными представителями философии для математиков оказались не кто иные, как неопозитивисты. Получившаяся пародия на союз философов и естествоиспытателей, за который ратовали классики марксизма, и довела математику до ее нынешнего состояния, когда в мировоззрении математиков явственно начали проступать черты... иррационализма! Как же иначе назвать уход от проблем оснований в полной уверенности, что продуктивно работать в этой области уже не получится? Ведь принципиальные проблемы, стоявшие перед Гильбертом, несмотря на все формальные ухищрения, так и не разрешены по существу. В этом случае математическая истина становится чем-то субъективным, конвенциональным или «элементом культуры» в одном ряду с шаманскими плясками.

Интересно отметить, что, несмотря на все вышеописанное, процесс проникновения философской терминологии в математику (особенно заметный в XIX веке: например, названия всех классических числовых колец образованы от понятий философии тем более поздней, чем больше кольцо) не остановился. Так, введенный Эйленбергом и Маклейном (занимавшимися представлениями) в 1945 году термин «категория» стал со временем основным понятием теории категорий, грозящей в недалеком будущем лишить теорию множеств звания универсального языка современной математики. Увы - такое положение дел только подкрепляет необоснованную уверенность в том, что из математической компетентности следует философская, которая понимается как знание философских слов (а таким знанием обладают почти все, ведь часть этих слов перешла в обыденный язык). Прискорбные примеры такого рода пришлось наблюдать на одном киевском семинаре по искусственному интеллекту. Там центральная философская проблема - проблема мышления - решалась так, что мышлением объявлялась деятельность некоторой модификации машины Тьюринга! Это тяжелое зрелище, когда десятки блестяще образованных людей занимаются заведомо безнадежным делом. Разумеется, такие случаи были бы исключены при наличии даже совсем небольшого знакомства с результатами подлинной (а не позитивистски-угодливой по типу «чего изволите?») философской мысли. Невежество - демоническая сила, но освободиться от него необходимо, если мы желаем двигаться вперед.

Сегодняшняя ситуация во взаимоотношениях математики и философии напоминает штиль. Но самое затишье наступает как раз перед бурей, которая всколыхнет застоявшиеся мутные воды и расчистит простор свободному течению хода человеческого познания.