Ещё раз о природе числа

2012-07-17 Иван Лемешко

В статье Э. В. Ильенкова «Школа должна учить мыслить» затронут вопрос о природе числа, давно волнующий и самих математиков. Но мистическое отношение к понятию числа, в афористической форме выраженное Кронекером («Целые числа создал господь бог, всё остальное – творение человека»), делало невозможной даже правильную постановку вопроса. Пытались выяснить природу числа, не выходя за пределы математики – и попали в объятия к позитивистам, доходящим до «методологического солипсизма».

Ясно, что диалектико-материалистическое решение вопроса о природе числа должно сосредоточиться вокруг человеческой практики.

Дело в том, что старое представление об образовании понятия числа (сначала натурального) в процессе развития человечества, т. е. представление о том, что люди стали называть (натуральными) числами то абстрактно-общее, что имеют между собой равномощные (конечные) множества, проникшее даже в классические учебники Александрова и Клини, мешало, прежде всего, педагогам. Методика начального обучения детей математике, основанная на этом представлении (из которого немедленно следует, что число не имеет ничего общего с качеством), оставляет детей совершенно беспомощными уже перед элементарнейшими задачами для первоклассников, требующими учёта не только количественной, но и качественной определённости.

Коллектив исследователей под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, занимавшийся проблематикой обучения и, в частности, формирования понятий у учеников младших классов, выдвинул ряд смелых гипотез, из которых нас здесь интересует та, что «нижний этаж» математического мышления составляет не обращение с натуральными числами, а отношения порядка, следовательно, обучение математике должно начинаться с этих отношений. Числа же появились лишь тогда, когда появилась практическая потребность в более точном (конкретном) отражении отношений между объектами деятельности.

Численное выражение предполагает измерение, меру, а значит и эталон (заметим, что введение стандартных эталонов по сути было вызвано развитием промышленности; «локоть», «фут» и т.п. вряд ли можно считать эталонами), в отношении к которому и выражается численная определённость. Быть единицей значит быть равным эталону, но перемена эталона не влияет на суть того, что значит быть единицей, двойкой и т. п. натуральным числом; поэтому нельзя согласиться с А. С. Есениным-Вольпиным, когда он предлагает отказаться от предположения о единственности натурального ряда. Аксиомы Пеано натурального ряда оказываются, таким образом, идеальным выражением простейших законов всеобщей деятельности по измерению объектов реального мира. Дальнейшее расширение запаса чисел отражает усложнение практики человечества. Представляется интересным в дальнейшем проследить на конкретно-историческом материале, как расширялся этот запас, и как обогащалось понятие числа.