О логике критики оснований математики

2010-05-07 Иван Лемешко

Как известно, кризис в области оснований математики выявил необходимость критического пересмотра господствовавших в то время наивных воззрений на предмет. В процессе этого пересмотра выделились различные течения критики, каждое со своим пониманием природы критикуемого предмета. Но, несмотря на все многообразие подходов, школы, представленные именами Гильберта, Брауэра и Рассела, были едины в том, что оказалось фатальным для всех них. Кризисная ситуация проявилась в обнаружении парадоксов (апорий, противоречий) в теории множеств, которая уже была признана фундаментом математики в целом. Таким образом, боровшиеся с кризисом люди неизбежно должны были проявить свое отношение к противоречиям, а, следовательно, и к диалектике. Это отношение определялось той позицией, на которой каждый из них стоял в философии (еще Энгельс заметил, что не стоять ни на какой философской позиции - несбыточная мечта для ученого).

К величайшему сожалению, математики того времени далеко отстояли от философских достижений не только своего времени, но и предыдущих столетий. Разумеется, все стояли на точках зрения «новейших» (в формально-хронологическом смысле) веяний, не осознавая, что принципиально нового в этих веяниях нет ничего, что в форме «новейших» выступают воззрения, которые в истории философии представляют собой давно пройденный этап. «Диалектика мстит задним числом за пренебрежение к ней»; не стали исключением и попытки обосновать математику. Несмотря на создание новых теорий (послуживших затем, к примеру, теоретической основой программирования), цель, которая первоначально ставилась - вернуться в «канторов рай» (возможно, ценой кое-каких достижений науки) - так и не была достигнута. Выхода из создавшегося положения не было видно, и большинство с ним смирилось.

Э. В. Ильенков, человек широкого круга интересов, не оставил без внимания и проблемы оснований математики. С этой точки зрения, кроме его логических работ особенную ценность представляют письма Г. Е. Шилову, а также статья «Количество» в Философской энциклопедии (ведь математика по Энгельсу - наука о количестве; интересно отметить как факт торжества антимарксистских концепций в позднем СССР, что в Математической энциклопедии отсутствует статья «Количество»). В этой статье Ильенков указал на то, что «главное направление атак неопозитивизма на диалектико-материалистическую логику и теорию познания находится как раз на линии математики и ее роли в науке». А это значит, что дать достойный ответ позитивистам на этой линии - задача, актуальность которой осознавалась еще в 1962 году.

В чем же состоит разница между подходами «отцов-обоснователей» и тем подходом, который Ильенков как материалист-диалектик защищает и совершенствует? Самое очевидное различие - в решении основного вопроса философии: в противовес путающимся, но явно склоняющимся к идеализму ученым, Эвальд Васильевич твердо стоит на позициях материализма. Но если бы это был материализм наивный, как тот, с которого начинали ученые, то Ильенков не имел бы никаких преимуществ перед ними. На самом деле, его материализм другого рода. Это диалектический материализм, позволяющий не просто понять оппонентов, став на их точку зрения, но и стать выше этой точки зрения и понять ее ограниченность, абстрактность, неспособность служить ориентиром при решении стоящих задач. Причем это понимание достигается не путем «имманентной» критики (как спинозовское исследование библии с опорой на ее текст), а так, что с самого начала принятая точка зрения делает ясной несостоятельность попыток обосновать идеальное исходя из него самого (вспомним, что проблема идеального - одна из основных в творчестве Ильенкова). Абстрактное понимание идеального, характерное для позитивистски ориентированных ученых, неизбежно мистифицирует связь его с материальным, и тогда остается только удивляться замечательным свойствам этой связи, что мы и наблюдаем в виде повторяющихся заявлений о «непостижимой эффективности математики в естествознании». С такой точки зрения ни о каком выведении идеального из материального и речи быть не может. Река научного познания оказывается заболоченной у самого истока.

Сам Ильенков указывает на это обстоятельство в статье «Идеальное», когда говорит о трудностях, связанных «с пониманием "числа", "точки" и других "абстрактных математических предметов", т. е. субъективных образов количественной определенности внешнего мира, толкуемых как самостоятельные предметы». Сразу после этой фразы формулируется тезис, являющийся выводом из всего предшествующего изложения и служащий ключом к преодолению упомянутых трудностей: «Идеальное и есть не что иное, как совокупность осознанных индивидом всеобщих форм человеческой деятельности, определяющих, как цель и закон, его волю и способ индивидуальной деятельности». Какова же та деятельность, формы которой суть то, что принято называть математическими абстракциями?

Ошибочно было бы утверждать, что существует род деятельности человека, не отражающийся в категории количества, так как количество - простая категория, логически непосредственно следующая за качеством; даже самые примитивные племена все-таки выработали первые несколько натуральных чисел (даже до этого, по гипотезе Давыдова, которой Ильенков сочувствовал, люди уже имели представление об отношениях (линейного) порядка, т. е. и здесь, очевидно, без количества не обошлось). Но не менее ошибочно было бы утверждать, что категория количества дает исчерпывающее описание человеческой деятельности. Непонимание этого не только лежит в основе любой разновидности механицизма, но и позволяет представить профессиональную деятельность математиков как основу человеческого познания вообще, не нуждающуюся ни в какой философии, и тем самым прийти к позитивизму.

Итак, математика как наука исследует количественный аспект общественной практики человечества. Собственного развития она не имеет, а только отражает развитие предметно-практической деятельности, которое совершается путем разрешения возникающих противоречий, проявляющих себя и как противоречия в науке. Какие же противоречия выступили на поверхность в виде парадоксов Рассела, Кантора, Бурали-Форти, Банаха-Тарского? Вспомним, что все эти парадоксы касаются всеобщего, понимаемого формально-логически. Этого и следовало ожидать, так как содержательная диалектико-материалистическая категория всеобщего могла перейти в науку только при условии снятия частичной, частной деятельности научных работников как работников умственного труда. Иначе категория всеобщего, даже при наличии потребности науки в ней, так и останется чем-то потусторонним, трансцендентным для частных наук.

Таким образом, нельзя признать удовлетворительным принятый в наше время большинством способ ухода от теоретико-множественных антиномий, когда вместо всеобщего ограничиваются изучением особенного, а именно множеств как несобственных классов. Такой подход, хотя и принес желанное избавление от классических парадоксов, но, во-первых, не гарантировал от возникновения новых, а во-вторых, сузил круг математических исследований. Кроме того, этот подход формален и не снимает вопроса о причинах возникновения и сущности антиномий.

Теория множеств вошла в математику в последней четверти позапрошлого века. Как известно, это была заря эпохи империализма - последней фазы развития капитализма, когда до крайности обостряется противоречие между общественным характером производства и частным характером присвоения. На точке зрения частного и стоит теория множеств, берущая за первичное элементы, которые затем внешним образом объединяются в множества по формальному признаку (это обстоятельство Ю. И. Манин своеобразно выразил в своих лекциях по алгебраической геометрии: «Язык категорий воплощает "социологический" подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сообщества себе подобных»). Математика стала считаться наукой о множествах, и такое понимание ее предмета господствует и по сей день. К чему привела такая абсолютизация категорий единичного и количества, можно рассмотреть на примере леммы Цорна и связанного с ней парадокса Банаха-Тарского, который послужил для некоторых математиков решающим аргументом в споре о том, признавать или не признавать эквивалентную этой лемме аксиому выбора. Выбор был болезненным: или сохранить классические теоремы анализа, но в довесок к ним получить ту противоречащую очевидности ситуацию, которую описали Банах и Тарский, либо избавиться от парадокса, но поставить себя в положение боксера, который запретил себе пользоваться руками, как выразился Гильберт по схожему поводу.

Этот парадокс очень хорошо показывает недостаточность чисто количественного познания. Дело в том, что его существенным моментом является выделение частей (подмножеств) шара, которые не имеют объема. С математической, чисто количественной точки зрения еще можно обсуждать саму возможность такой операции, но при конкретном, всестороннем рассмотрении сразу становится ясной ее невозможность. Итак, очевидность не может здесь, как и вообще, служить критерием истины. Действительный критерий истины - практика - оправдывает классические теоремы анализа; но практикой оправдываются и построения конструктивистов. Это не должно вызывать удивления, если принять во внимание противоречивый характер практики. Разные подходы к основаниям математики абсолютизируют противоречие между сторонами количественно-познавательного аспекта практики и догматически останавливаются на рассмотрении одной из этих сторон.

Проследим вкратце историческое развитие оснований математики. Традиция приписывает первые математические доказательства Фалесу. Уже на примере этих, еще очень наивных, рассуждений видно, что зарождающаяся наука с самого начала ставила задачу не удовлетворяться очевидностью и искать прочное обоснование научных истин. Законченную форму античное обоснование математики (т. е. по преимуществу геометрии, при которой арифметика играла подчиненную роль) приобрело в эллинистический период у Евклида. Вплоть до XIX века работа в области оснований математики сводилась к комментированию классического текста и внесению чисто технических изменений. Такой застой был обусловлен тем, что для той полноты освоения форм движения материи (в первую очередь механической формы) в «Началах» давалось вполне достаточное обоснование пространственных закономерностей и арифметических операций. И по сей день для многих (но уже не для всех) запросов практики Евклид дает все необходимое.

Открытие неевклидовых геометрий привело к радикальному изменению понимания задач геометрической науки. Изложенный в Эрлангенской программе взгляд на геометрию как на изучение инвариантов действий групп преобразований пространств знаменовал собой разрыв с прежними представлениями и идейное сближение с математическим анализом, потребность в обосновании которого привела к исследованиям Больцано, Коши и Вейерштрасса. При цитировании общеизвестной фразы Энгельса, гласящей, что вместе с дифференциальным исчислением в математику вошло движение, не всегда принимается во внимание, что непосредственно вошло в нее только представление о движении, причем именно о механическом перемещении. Адекватный понятийный аппарат создавался более ста лет, и в течение этого срока отсутствие научных понятий делало возможными и даже неизбежными споры, которые нашему современнику кажутся детски наивными. Эти споры были показателем того, что человечество освоило механическую форму движения материи настолько, что дальнейшее развитие было невозможным без обоснования предшествующих результатов, т. е. без понимания (понятия) достигнутого. Они и прекратились, когда Коши и Вейерштрасс провели арифметизацию анализа.

До сих пор зависимость продвижения в обосновании математики от освоения всеобщих форм движения материи была очевидной. И на первый взгляд, кризис начала прошлого века никак не связан с предметно-практической деятельностью человечества. Но именно к этому времени перед человечеством встала задача освоения высшей формы движения материи - общественной. Важность учета и контроля для социализма не нуждается в разъяснениях, как не нуждается в них и важность науки статистики для учета и контроля. Но статистика в целом требует развития методов математической статистики и теории вероятностей, следовательно, теории меры, а значит, и теории множеств. В этом смысле можно сказать, что исследования по теории множеств входили в те условия решения задачи перехода к социализму, которое должны быть налицо для того, чтобы человечество поставило перед собой эту задачу.

Кризис, наступивший при попытках освоения всеобщего, как раз и был симптомом того, что формальная логика, прекрасно зарекомендовавшая себя при становлении капитализма, должна сдать диалектике свою роль способа мышления, когда на повестку дня ставится освоение общественной формы движения материи. Рациональные зерна целыми россыпями можно находить во всех трех основных подходах к обоснованию математики, но невозможность связать их в непротиворечивую систему (как того требует позитивистская «логика науки») обескураживает исследователей. Ничего удивительного в этом нет; такого положения не избежать, если не признавать, что наука есть отражение противоречивой действительности и не уметь разрешать противоречия в науке адекватным действительности образом.